Một trong những cuộc thảo luận sớm nhất về hyperoperation là của Albert Bennett năm 1914, người đã phát triển một số lý thuyết về hyperoperation giao hoán (xem bên dưới). Khoảng 12 năm sau đó, Wilhelm Ackermann đã định nghĩa hàm ϕ ( a , b , n ) {\displaystyle \phi (a,b,n)} mà phần nào giống với dãy phép toán.

Trong bài báo năm 1947, R. L. Goodstein đã giới thiệu một dãy hoạt động cụ thể của các phép toán được gọi là hyperoperation, và cũng đề nghị các tên Hy Lạp tetration, pentation, v.v., cho các phép toán mở rộng vượt quá lũy thừa (bởi vì chúng tương ứng với các chỉ số 4, 5, v.v.). Là một hàm ba đối số, ví dụ, G ( n , a , b ) = H n ( a , b ) {\displaystyle G(n,a,b)=H_{n}(a,b)} , toàn bộ dãy phép toán được coi là một phiên bản của hàm Ackermann gốc ϕ ( a , b , n ) {\displaystyle \phi (a,b,n)} — đệ quy nhưng không đệ quy cơ bản — được sửa đổi bởi Goodstein để kết hợp phép successor cơ bản cùng với ba phép toán cơ bản khác của số học (phép cộng, phép nhân, luỹ thừa), và để làm cho một phần mở rộng liền mạch hơn của những điều này vượt quá lũy thừa.

Bản gốc ba đối số hàm Ackermann ϕ {\displaystyle \phi } sử dụng quy tắc đệ quy tương tự như phiên bản của Goodstein (tức là, dãy phép toán), nhưng khác với nó theo hai cách. Thứ nhất, ϕ ( a , b , n ) {\displaystyle \phi (a,b,n)} định nghĩa một dãy các phép toán bắt đầu từ phép cộng (n = 0) thay vì phép successor, sau đó đến phép nhân (n = 1), luỹ thừa (n = 2), v.v.. Thứ hai, các điều kiện ban đầu cho ϕ {\displaystyle \phi } dẫn đến ϕ ( a , b , 3 ) = G ( 4 , a , b + 1 ) = a [ 4 ] ( b + 1 ) {\displaystyle \phi (a,b,3)=G(4,a,b+1)=a[4](b+1)} , do đó khác với các phép toán vượt quá lũy thừa.[2] Ý nghĩa của b + 1 trong biểu thức trước đó là ϕ ( a , b , 3 ) {\displaystyle \phi (a,b,3)} = a a ⋅ ⋅ ⋅ a {\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} , trong đó b đếm số lượng của hyperoperation (lũy thừa), thay vì đếm số lượng của toán hạng ("a" s) như b trong a [ 4 ] b {\displaystyle a[4]b} , và như vậy cho các phép toán bậc cao hơn. (Xem bài viết về hàm Ackermann để biết chi tiết.)